仕事中に怪我をしました。
事業主に労働災害として認定をしてもらえるでしょうか。

使用者には労働者の安全に配慮する義務があります。（労働安全衛生法第３条 )
それに基づいて健康診断等も定められています。ですから、もしも事業主が関係法令の基準を守っていないために仕事中に事故がおきたのであれば、労働者は損害賠償を請求することもできます。
労働者が業務上でけがをしたりした場合に医療や生活を保証する制度として『労働者災害補償保険制度』があります。労働者を雇用する事業主は全員強制加入しなければなりません。保険料は事業主負担で労働者からの徴収はありません。
業務上の災害と認められればこの保険制度から療養費、休業の間の賃金補償などがされます。

1.業務上災害の認定
業務上の災害の認定は２つの類型に分けられます。
［1］事業主の支配・管理下で業務に従事している場合
労働者が、担当の仕事をしている場合、事業主からの特命業務に従事している場合、担当業務を行う上で必要な行為、作業中の用便、飲水等の生理的行為を行っている場合などです。
［2］事業主の支配下にあるが、管理下を離れて業務に従事している場合。
出張や社用での外出、運送、配達、営業などのため事業場の外で仕事をする場合、事業場外の就業場所への往復、食事、用便など事業場外での業務に付随する行為を行う場合などです。

2.職業病の労災認定
労働災害の中には腰痛やけいけいわん症候群等のように働きつづけるうちに徐々に健康が損なわれていくものがあります。いわゆる職業病です。職業病の労災認定は業務との関連を立証するのが難しいため組合や専門家などに相談しましょう。

3.過労死・自殺の労災認定
厚生労働省は
［1］異常な出来事に「遭遇したこと
［2］ 日常業務に比較して特に過重な業務であったこと
等が認められたときには「業務に起因することが明かな疾病｣に該当するとして労災保険の適用を認めるケースも出てきています。しかし。事業主の協力を得ることが難しいことも多く組合や専門家などに相談しましょう。

仕事からの帰宅途上で車に衝突されました。
通勤災害というものがあると聞きましたがそれにあたるでしょうか。

仕事から直接帰宅する経路の上なら問題ありません。職場で申請してください。
通勤災害とは、労働者が就業に関し、住居と就業の場所との間を合理的な経路及び方法により往復する途上における事故であり、業務の性質を有しないものとされています。（労働保険法第７条）合理的な往復の経路を逸脱した場合（長時間友人とショッピングしたりなど）通勤災害とされない場合があります。ただし、日常生活上必要な行為 ( 夕飯の買い物とか。組合事務所に寄ったとか ) で、止むを得ない事由の場合の逸脱は通勤災害と認められる場合があります。労災保険は、通勤災害及び業務上の災害双方について補償します。

短時間しか働いていないのですが、労災保険は適用されるのでしょうか。

労災保険はどんなに短時間でも適用になります。
雇用保険は週20時間以上の労働者から適用になっています。
ただ、労災保険に事業主が入っているかどうかの確認は必要です。